Anton Schlembach stammte aus Großwenkheim im Landkreis Bad Kissingen. Von 1981 bis 1983 war er Generalvikar des Würzburger Bischofs Paul-Werner Scheele, zuvor Regens des Würzburger Priesterseminars und über ein Jahrzehnt Religionslehrer am Gymnasium in Hammelburg. In seiner fränkischen Heimat fühlte sich der Ehrendomherr am Würzburger Kiliansdom tief verwurzelt.

Anton Schlembach wurde als Sohn einer Bauernfamilie am 7. Februar 1932 in Großwenkheim im Landkreis Bad Kissingen geboren. Sein Heimatdorf war katholisch, das Elternhaus in einer ganz selbstverständlichen Weise religiös. Dem Drängen des Pfarrers war es zu verdanken, dass die Eltern den Jungen nach Würzburg ins Bischöfliche Knabenseminar schickten - obwohl in dem kleinen landwirtschaftlichen Betrieb zuhause jede Hilfe gebraucht wurde.

In diesen Jahren wurde Schlembach stark geprägt von dem damaligen Präfekten des Hauses, Julius Döpfner, dem späteren Bischof und Kardinal. Nach dem Abitur 1950 fiel die endgültige Entscheidung, Priester zu werden. Schlembach studierte zunächst in Würzburg Philosophie und Theologie, bis ihn sein Bischof nach Rom, an die Päpstliche Universität Gregoriana schickte. Nach der Priesterweihe 1956 blieb Schlembach noch für drei weitere Jahre in Rom, wo er seine Promotion zum Doktor der Theologie abschloss.